Mirakel van Euler
Het mirakel van Euler is de berekening van de hoofdwaarde voor i tot de macht i
i i = e− π / 2 of ongeveer 0,207879576…
Uitleg
Uit de definitie van de logaritme volgt dat je elk getal kunt schrijven als een exponentiële functie, zodat
en voor de logaritme van de imaginaire eenheid geldt
Vervolgens krijg je
met als hoofdwaarde voor k = 0
Als je dit uitrekent kom je op
Het is een transcendent getal. De verschillende waardes hebben een periode van
zodat
GeschiedenisDe Zwitserse wiskundige Leonhard Euler heeft deze berekening in 1748 beschreven. |